数论作为研究整数性质的重要数学分支，包含了几个著名的定理，被称为“数论四大定理”，它们分别是欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理和唯一分解定理。下面将逐一介绍这些定理：
1. **欧拉定理**：欧拉定理，也被称为欧拉-费马定理，是由欧拉在18世纪发现的。该定理表述为：若正整数 \(a\) 和 \(n\) 互质，则 \(a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\)，其中 \(\varphi(n)\) 是小于 \(n\) 的正整数中与 \(n\) 互质的数的个数，即欧拉函数。这一定理在计算离散对数和RSA加密等领域有着广泛的应用。
2. **费马小定理**：费马小定理是由17世纪的法国数学家费马提出的。其内容为：若 \(p\) 是质数，而 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数，则 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)。这一定理在素性测试中有着重要的应用，用于判断一个给定的正整数是否为质数。
3. **中国剩余定理**：中国剩余定理是中国古代数学家孙子在《孙子算经》中提出的一种算法，用于解决同余方程组。该定理表述为：若 \(m_1, m_2, \ldots, m_n\) 是一组两两互质的正整数，而 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 是任意整数，则同余方程组：
\[
\begin{cases}
x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\
x \equiv a_2 \pmod{m_2} \\
\vdots \\
x \equiv a_n \pmod{m_n}
\end{cases}
\]
有解，并且解可以表示为 \(x \equiv x_0 \pmod{M}\)，其中 \(M = m_1m_2\ldots m_n\)，而 \(x_0\) 可以通过特定计算方法求得。这一定理在密码学、计算机科学和电子工程等领域具有重要应用。
4. **唯一分解定理**：唯一分解定理，也称为质因数分解定理，是数论中的一个基本定理。它表明每个大于1的自然数都可以唯一地分解为若干个质数的乘积，并且这种分解方式是唯一的。例如，\(90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1\)，其中 \(2, 3, 5\) 是质数，且这种分解方式是唯一的。这一定理是数论中的核心问题，具有重要的理论和实际应用意义。
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