特征向量：A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0，并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征多项式等于0的时候，称为A的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就...
从线性空间的角度看，在一个定义了内积的线性空间里，对一个N阶对称方阵进行特征分解，就是产生了该空间的N个标准正交基，然后把矩阵投影到这N个基上。N个特征向量就是N个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。特征值越大，说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大，功率越大，信...
矩阵特征值是对特征向量进行伸缩和旋转程度的度量，实数是只进行伸缩，虚数是只进行旋转，复数就是有伸缩有旋转。其实最重要的是特征向量，从它的定义可以看出来，特征向量是在矩阵变换下只进行“规则”变换的向量，这个“规则”就是特征值。特征向量反映了线性变换的方向，这这几个方向上线性变换只导致伸...
矩阵特征值的性质是指矩阵A的行列式的值为所有特征值的积，矩阵A的对角线元素和称为A的迹等于特征值的和。相关概念：特征值是线性代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、物理、化学、计算机等领域，设A是n阶方阵，如果有一个数M和一个非零的n维列向量X，使得Ax=mx成立，那么M被称为a的特征值...
特征值是矩阵的一个重要性质，可以通过求解特征方程来求得。特征方程是由矩阵减去特征值乘以单位矩阵再求行列式得到的方程。1.特征值和特征向量的定义：特征值是矩阵A满足方程Av=λv的数λ，其中v是非零向量，称为对应于特征值λ的特征向量。特征向量表示在矩阵作用下只发生伸缩变化而不改变方向的向量。...
首先，AB=BA说明A和B都是方阵。设mu是B的某个特征值，X是mu对应的特征子空间.对X中的任何向量x，必有 BAx=ABx=mu Ax 也就是说Ax属于X，于是X是A的一个不变子空间，里面必含有A的特征向量。矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的...
设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。方阵的特征值的个...
Aα=λα.两边同乘A^-1 α=λ(A^-1)α 即(A^-1)α=(1/λ)α 则A的逆的特征值为1/λ 如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν 其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即...
通过求解特征值和特征向量，我们可以将一个矩阵对角化。对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程，使得矩阵的计算和分析更加简单。对角化的关键就是求解特征值和特征向量，通过特征值和特征向量的组合，可以将矩阵分解为一个对角矩阵和一个相似变换矩阵的乘积。特征值与行列式还可以用于求解线性方程组的解。
通过矩阵特征值的计算，人们还能够把一些看似复杂的问题转化为更容易求解的问题。比如，在网络分析领域中，矩阵特征值可以用于刻画网络的拓扑结构以及发现网络中的关键节点。此外，矩阵特征值也有着广泛的应用于金融、信号处理、图像处理等领域。它不仅可以解释许多自然现象，还能够提供有效的数学工具，帮助解决...
00:43
00:52
03:01
00:47
03:07